Pavage "Cristal" d'ordre cinq avec trois briques de base :


 Le tout premier pavage décrit au chapitre précédent, "Pavages à géométrie variable" présente des côtes très marquées :


Ces côtes (en rouge ci-dessus) dessinent spontanément trois différentes formes de briques qui permettent d'envisager un tout nouveau pavage. Les sommets et les côtés de chacune des briques sont déterminés par les pointes des briques oranges en forme de fléchettes. Tous les côtés de ces briques ont la même longueur, ce sont des polygones équilatéraux ; un octogone ; un hexagone ; un décagone.

Voici ces briques décorées des segments du réseau Alpha qui les traverse. Je les ai baptisé "Cristal" car leurs formes et leurs décorations font penser à des gemmes. Ce nouveau set de briques présente certains avantages pour paver le plan avec une symétrie d'ordre cinq et reconstituer le réseau Alpha. En effet, les briques de la création comptent également trois formes distinctes, mais une fois décorées par les segments de droites du réseau Alpha qui les traversent, elles sont au nombre de cinq. Les briques "Cristal" permettent de s’affranchir des briques "Coupe" et "Calice" du set de la création ; elles occupent respectivement les emplacements des briques P1, P2, P0 du réseau Alpha en se substituant à elles comme représenté ci-dessous et en couvrant la totalité de l'espace plan.

P1,P2, P0, en bleu, superposés aux briques Cristal en gris et rouge.

Voici maintenant le pavage produit avec les briques "Cristal" ; la symétrie droite-gauche est parfaite par rapport à l'axe de symétrie vertical passant par le centre matérialisé par le point orange, (état quatre du réseau Alpha) ; elle le serait également en symétrie centrale d'ordre cinq avec le réseau Alpha dans son état un.

Il serait également possible de préserver l'entièreté des pentagones P0, P1, P2 dans chacune de ces trois briques moyennant quelques modifications.


Et le pavage qui en découle :


Pour mettre en œuvre ces pavages, il faut que chacune des briques se juxtaposent de telle sorte qu'elles reconstituent sans interruption les droites du réseau Alpha (en rouge). Depuis le premier cercle incluant le centre et dans les dix différentes directions à partir de celui-ci, la succession des espacements des droites parallèles du réseau obéissent au développement du mot infini de Fibonacci.

Cela requiert cependant une bonne connaissance et habitude car l'exercice peut très vite s'apparenter à un casse-tête pour le néophyte. Voilà pourquoi les quasi-cristaux sont si rares (seulement deux ou trois naturels connus) ; même pour les scientifiques qui tentent de les produire en laboratoire, la tâche est ardue, d'où leur attrait et la fascination qu'ils exercent.

Pavage "Cristal" simplifié :

Il est possible d'aller encore plus loin et réduire le nombre de briques "Cristal" à deux. En effet :

On voit sur l'image ci-dessus qu'en associant la brique correspondant à P2 avec une nouvelle brique en forme de diabolo, on obtient celle correspondant à P1 mais avec une ligne rouge supplémentaire à l'endroit où s'est produit la fusion. Également, cette brique résultante associée avec un autre diabolo donne la brique correspondant à P0 mais avec deux lignes rouges supplémentaires correspondant aux points de fusion.

On pourrait faire un parallèle très intéressant avec le domaine de la chimie, mais cela dépasserait mes compétences.

Toujours est-il que si l'on veut respecter la cohérence du réseau Alpha en juxtaposant ces briques, il faudrait que ces lignes rouges supplémentaires disparaissent une fois la fusion faite.

Nous nous contenterons de montrer un pavage d'ordre cinq avec seulement deux briques de base que nous appellerons " Briques Cristal simplifiées" et "Pavage Cristal simplifié".

Ces deux briques sont déjà recensées dans un set qui en compte cinq et bien connu des musulmans, les briques de Girih. Elles sont quelques fois appelées "Navette" et "Nœud papillon". Ce sont les deux du haut dans l'image ci-dessous.

Les briques de Girih.

Briques "Cristal" simplifiées.

Pavage "Cristal" simplifié.


Pour reconstituer parfaitement le réseau Alpha avec le pavage "Cristal" simplifié, il faudra finalement que la brique "Navette" possède quatre variantes de décors ; la brique "Nœud papillon" restant toujours identique :