Pavages d'ordre cinq à géométrie variable :

Nous avons vu , dans le précédent chapitre, qu'il suffisait de trois différentes pièces pour reconstruire l'intégralité du réseau Alpha dans son état quatre (trou noir y compris), tout en maintenant parfaitement les angles et les espacements entre les cinq réseaux de droites parallèles.



Réseau Alpha reconstruit avec les trois différentes pièces rouges, bleus, vertes.

Puisque ces trois éléments ont la capacité de reproduire les caractéristiques géométriques et symétriques du réseau Alpha, il ne devrait pas être difficile d'en déduire un nouveau pavage d'ordre cinq ; Il suffirait pour cela que les briques de ce pavage intègrent chacune un de ces éléments, qu'elles en préservent la position, tout en se juxtaposant exactement les unes aux autres.

Les plus petits éléments (rouges) avec leurs angles de 72° et 108°, associés par cinq, dessinent la partie centrale du petit pentagramme ; en toute logique, on pourra prolonger une de ces pièces par deux traits reliant le centre du pentagramme comme sur la figure ci-dessous.



A gauche de la figure ci-dessus, les côtés de la pièce rouge d'origine sont reliés par des traits, puis deux autres relient la pièce au milieu du pentagramme. Cinq de ces pièces formeront l'image de droite. Maintenant, si l'on positionne de telles pièces sur toutes les intersections correspondantes, quelle forme donner aux briques qui intègreront les pièces bleus et les pièces vertes ?

L'image suivante montre un nouveau set de briques intégrant respectivement l'élément rouge, bleu, vert, puis une quatrième pièce (losange) qui vient combler des zones restées vacantes et correspondant à la brique pentagonale P1 (1 losange) et P2 (2 losanges juxtaposés) des briques de la création.



Voici maintenant le nouveau pavage d'ordre cinq produit avec ce set de quatre briques :



Pour obtenir ce pavage, nous sommes partis de l'élément rouge que nous avons fermé et prolongé vers le centre du petit pentagramme du réseau Alpha ; cela a très bien fonctionné. Peut-on maintenant prolonger cette même pièce dans l'autre sens par rapport à son axe de symétrie ? Jusqu'où ? Et quelles seront les conséquences pour les autres briques du set ?


Voici un nouveau pavage d'ordre cinq et un nouveau set de briques. Il a suffit pour cela d’allonger la plus petite brique orange du pavage précédent, (celle qui contient l'élément rouge du réseau Alpha en trois pièces), puis d'en déduire les formes modifiées des trois autres briques. Mais jusqu'où peut-on étirer la brique orange ?


Dans ce nouveau set, la brique orange est étirée au maximum car ensuite, elle viendrait diviser l'élément vert contenu dans la brique jaune ; le pavage et le réseau Alpha qu'il reproduit perdraient leur cohérence.

Nous venons d’inventer un pavage d'ordre cinq à géométrie variable !

En effet, il existe une infinité de sets de différentes briques entre celui où la brique orange est la plus petite et celui où elle est la plus grande.

On pourra bien sûr calculer cette variable.

La figure ci-dessus montre le réseau alpha (en noir) se superposant au pavage ; la variable V en rouge.



Si l'on considère que les deux valeurs d'espacement des droites parallèles du réseau Alpha correspondant à S et L sont respectivement phi et phi^2 comme tout au long de cette recherche, la variable ci dessus vaudra :

1.1180339887... soit  phi - 0.5.


Mais on peut encore aller plus loin.

La longueur des côtés de chacune des trois pièces reconstituant le réseau Alpha à été décidée de façon arbitraire. Il sera donc possible de faire varier la longueur de ces côtés par rapport à l'axe de symétrie des trois pièces de base, puis en utilisant à nouveau la variable précédemment décrite, obtenir à chaque modification une nouvelle infinité de sets de briques.

Les images suivantes en donnent quelques exemples avec à gauche le pavage et à droite le set de briques correspondant.



A chaque fois, les différentes briques se positionnent de la même façon les unes par rapport aux autres, mais l'on peut se faire une idée, avec les quelques exemples précédents, de la variété des résultats obtenus et de l'immense champ d'investigation que cela représente.

Des infinités de pavages supra-périodiques d'ordre cinq...