Analyse de la suite de Fibonnacci

et recherche d'une origine :

Après avoir réuni les ingrédients nécessaires à la symétrie cinq, il ne nous manque plus qu'une chose : La détermination du centre de symétrie autour duquel pivotera le réseau de droites parallèles.

On a supposé, dans l'introduction, que si l'on prend en compte la notion d'infini, la "Supersymétrie" originelle et universelle devrait s'organiser autour d'un centre (origine (O.) ), unique, hors d'atteinte, à l'infini.

Et justement, la suite de Fibonacci, alors que son développement suit une logique implacable, ne donne pas d'indications précises quand à son origine... (Tel qu'expliqué au chapitre précédent).


Le réseau de droites construit selon cette logique aura la forme :

On observe que (F(o)) est composée de trois différents modules que l'on appellera :


On voit aussi que ces deux modules b et d ne diffèrent qu'en un espace central [LS] ou [SL].

On remarque également que deux espacements S ne sont jamais en contact, et que l'espacement L marque toujours le début et la fin des modules b et d.

"L'effet miroir" étant indispensable dans la recherche de symétrie, il est intéressant d'observer une telle architecture.


Pour calculer la valeur métrique de b1 ; d1 ; c1 ; rappelons que :

Et la forme graphique de (F(1)) sera :

Maintenant si l'on se concentre uniquement sur les données entre les [LL] , on remarque un phénomène intéressant !...


- L'on voit qu'en ayant délaissé [LSL] au départ de la suite, les [SLS] et les [S] entre les [LL] se succèdent en formant une suite semblable à (F(o)) .

- Que l'on peut envisager une suite (F(2)) couvrant (F(1)) et (F(o)) composée de b2 ; d2 ; c2 .

- Que b2 et d2 sont "miroirs" et qu'ils ne diffèrent qu'en un espace central [SL] ou [LS].

- Que l'espace central de b1 était [LS] alors que celui de b2 est [SL].

- Qu'il y a donc une inversion de "l'effet miroir" à l'échelle de (F(2)).

- Que nous aurions pu écrire (F(2)) par dessus (F(1)) et (F(o)) sans délaisser [LSL] au départ,mais nous n'aurions pas retrouvé "l'effet miroir" entre b2 et d2 ;

Ce décalage semble donc être nécessaire !...

- Que b2 et d2 de (F(2)) couvrent 34 espacements de (F(o)).

- Que c2 couvre 8 espacements de (F(o)) et qu'il est identique à b1.

- Que (F(2)) est proportionnellement identique à (F(1)) et que, par conséquent, nous pourrons en prolongeant (F(2)) sur le modèle de (F(1)) deviner la suite de (F(1)) et (F(o)).

On remarque que pour bien décrire le contenu d'un module d2 , nous sommes obligés d'envisager un nouveau module :


A ce stade , l'on constate que la suite de Fibonacci (F(o)) comporte une logique structurelle et un "effet miroir" dans (F(1)) et (F(2)) dont on va tenter de comprendre le fonctionnement car :

Qui dit "effet miroir" dit symétrie !

Par déduction , on peut poursuivre ainsi :

Couverture de (F(2)) sur (F(1)) :


La suite ainsi développée représente 974 espacements de (F(o)).

On remarque que la suite de Fibonacci semble jouer une partition d'effets miroirs et de symétries ; mais cette logique de construction se poursuit-elle avec une (F(3)) ; (F(4)) ; (F(5)) ; (F(6)) ; ...etc ...... à l'infini ?...

Toujours par déduction (F(1)) progresse ainsi :


La suite ainsi développée représente 1508 espacements de (F(0)) .

Et l'on peut envisager une suite (F(3)) dont les b3 et d3 couvrirons 144 espacements de (F(0)) et les c3, 34 espacements de (F(0)) .

Dans cette configuration pourtant , les b3 et d3 ne sont pas "miroirs" et il faudra sans doute comme pour (F(2)) décaler (F(3)) du point de départ pour retrouver "l'effet miroir" entre b3 et d3.

On remarque que (F(1)), (F(2)), (F(3)), obéissent aux mêmes lois architecturales ;mais que délaisser au départ de (F(3)) pour retrouver "l'effet miroir" entre b3 et d3 ?

Regardons ce que nous disent les nombres de Fibonacci :

On observe :

Et en effet :

Après voir délaissé LSL puis LSLSLLSLLSLSL , on a :

On en déduit que pour respecter les proportions , le chevauchement , et "l'effet miroir" entre les différentes b(n) et d(n), il faudra qu'au départ :

- F(2) laisse 3 esp. de F(0) : soit [LSL].

- F(3) laisse 3 + 13 esp. de F(0) : soit [LSLLSLSLLSLLSLSL]

- F(4) laisse 3 + 13 + 55 = 71 esp.

- F(5) laisse 3 + 13 + 55 + 233 = 304 esp.

- F(6) laisse 3 + 13 + 55 + 233 + 987 = 1291 esp.

- F(7) laisse 3 + 13 + 55 + 233 + 987 + 4181 = 5472 esp.

- F(8) laisse 3 + 13 + 55 + 233 + 987 + 4181 + 17711 = 23183 esp.

- etc ...

Ainsi toutes les b(n) et d(n) de F(n) sont "miroirs" , et cela implique qu'il existe dans la suite de Fibonacci , un "effet miroir" à l'infini puisque :


Toutes les F(n-1) ; F(n) ; F(n+1) ; s'imbriquent donc les unes dans les autres , mais avec un décalage spécifique qui préserve "l'effet miroir" entre b(n) et d(n).

Notre quête de symétrie a bien avancée, mais l'on peut se demander :

Pourquoi F(1) n'est elle pas décalée de F(0) ?...

Et l'on constate que :

- Pour F(2) : 1 + 3 = 4 = 8/2 = c2 /2

- Pour F(3) : 1 + 3 + 13 = 17 = 34 / 2 = c3 /2

- Pour F(4) : 1 + 3 + 13 + 55 = 72 = 144 / 2 = c4 /2

- Pour F(5) : 1 + 3 + 13 + 55 + 233 = 305 = 610 / 2 = c5 /2

- Pour F(6) : 1 + 3 + 13 + 55 + 233 + 987 = 1292 = 2584 / 2 = c6 /2

- etc...

On voit qu'en ajoutant 1 au nombre d'espacements de F(0) que doivent délaisser chacune des F(n) , (n > 0) , pour commencer leur développement , on tombe sur le nombre d'espacements de F(0) que contiennent chacun des modules c(n) divisés par deux .

Il manque donc 1 espacement à l'introduction de F(0) !

Quelle valeur métrique ce (1) peut-il avoir dans F(0) ?

Etant donné que pour obtenir "l'effet miroir" entre b(n) et d(n) de F(n) , il faut impérativement délaisser une valeur d'espacement depuis l'origine , égale à c(n) /2 , il faudra pour calculer la valeur métrique de l'espacement qui introduit F(0) , faire :

Nous venons par ce simple calcul , de localiser l'emplacement exact de "l'origine (O.)" introduisant F(0) ; F(n) , (n > 0) ; et la suite de Fibonacci .  

Etant donné que nous avons considéré depuis l'introduction de cette recherche que l'origine (O.) devait être le centre de symétrie d'une hypothétique "supersymétrie" il faudra , par conséquent , que tout ce qui se développe dans un sens à partir de cette origine , se développe également dans le sens opposé .

Cela veut dire que F(0) devrait naître ainsi :

L'origine (O.) se trouve donc parfaitement centrée dans un espace originel correspondant à :

Cette configuration explique le "flottement" à l'introduction de la suite de Fibonacci , car le tout premier espacement séparant l'origine (O.) de la première droite ne correspond ni à [L] , ni à [S] , mais à [LS] / 2 et aucune droite ne passe donc par l'origine (O.) .

L'on peut donc , à partir de cet instant , parfaitement envisager et décrire la partition "d'effet miroir" jouée par la suite de Fibonacci , de manière rigoureusement identique , à toutes les échelles F(1) , F(2) , F(3) , ... F(n) ... à l'infini.

Etc... à l'infini.

Le développement ci-dessus montre la partition "d'effet miroir" que jouent toutes les F(n) ,(n > 0),

tel que :

- Pour F(1) : c1 = 2 ; b1 et d1 = 8 ;                               >>> développement = 4615 esp.

- Pour F(2) : c2 = 8 ; b2 et d2 = 34 ;                             >>> dév.                      = 19550 esp.

- Pour F(3) : c3 = 34 ; b3 et d3 = 144 ;                        >>> dév.                      = 82815 esp.

- Pour F(4) : c4 = 144 ; b4 et d4 = 610 ;                      >>> dév.                      = 350810 esp.

- pour F(5) : c5 = 610 ; b5 et d5 = 2584 ;                    >>> dév.                      = 1486055 esp.

- Pour F(6) : c6 = 2584 ; b6 et d6 = 10946 ;                >>> dév.                     = 6295030 esp.

- Pour F(7) : c7 = 10946 ; b7 et d7 = 46368 ;             >>> dév.                       = 26666175 esp.

- Pour F(8) : c8 = 46368 ; b8 et d8 =196418 ;            >>> dév.                       = 112959730 esp.

- etc ...


Cela implique qu'il existe une périodicité par homothétie de centre (O.), de facteur k = - phi^3 et k = phi^6 dans le développement naturel de la suite de Fibonacci.