Construction graphique :

On trace un réseau de droites parallèles dont les deux différents espacements [S] et [L] valent :

Tel que :

ensuite chacun des termes de la suite étant la somme des deux précédents ; on obtient :

Ces axes de symétrie en réflexion sont des lignes imaginaires appelées "équateurs"(3). Les valeurs irrationnelles de [L] et [S] s'équilibrent parfaitement sur tout le réseau ainsi construit :


A partir de cet instant, on comprend que grâce au placement de l'origine (O.) le réseau α est parfaitement équilibré sur l'ensemble du plan et que le reste de la recherche ne va plus se concentrer que sur la partie centrale (trou noir) et dépendre du placement respectif de chacune des droites hésitantes dans leurs espacements [L+S] originel .

Ces droites ayant la même probabilité d'appartenir au développement de la suite de Fibonacci partant vers la droite ou vers la gauche, hésitent par conséquent sur leurs positions ; elles auront donc la faculté de se mouvoir d'une position à l'autre , et ce mouvement aura une valeur d'amplitude égale à : 0.5 + 0.5 = 1.

Ces cinq droites sont appelées : "Droites hésitantes (Dh.)" (4).

Ensuite , à partir de chacun des différents états du réseau α et par le mouvement d'une seule des droites hésitantes , on accède aux autres états, tel que :

- Sachant qu'une ligne imaginaire appelée "équateur"(3) passant par l'origine (O.) matérialise l'axe de symétrie en réflexion (miroir) de la supersymétrie.

-Que les angles indiqués sont ceux des droites hésitantes par rapport à l'équateur.

-Que les flèches signifient un basculement des droites hésitantes de l'autre côté de l'origine (O.); ( mouvement de "1").

- L'état 1 (réseau α1) possédant cinq symétries en réflexion par rapport à ses cinq axes de symétrie (équateurs(3)) ; quatre symétries invariantes en cinq rotations de 72° autour de l'origine (O.) ; une symétrie invariante en dix rotations plus réflexion de 36° autour de l'origine (O.); nous n'indiquerons pas les angles pour l'état 1 . Les trois autres états (réseaux α2 ; α3 ; α4) ne possèdent qu'une symétrie en réflexion par rapport à leur équateur (3).

On remarque que depuis l'état 3 (réseau α3 ) , il suffit de faire basculer l'une des droites hésitantes à 18° par rapport à l'équateur pour obtenir le même état (réseau α3 ) , mais ayant accompli une rotation de 36° ; en répétant la même opération depuis cette nouvelle orientation et de nouveau indéfiniment , toute la supersymétrie est mise en rotation dans le sens horaire ou anti-horaire , suivant si on fait basculer la droite à +18° ou à -18°.

Il en va de même pour l'état 4 (réseau α4 ), mais avec les droites hésitantes se trouvant à +54° ou -54° par rapport à l'équateur, et la rotation se fera par pas de 108° au lieu de 36° .



Cette figure montre le "trou noir central (1)" dans son état 1 (réseau α1 ) ; entouré d'une zone que l'on appellera "horizon (2)" ; les cinq axes de symétrie en réflexion (miroir) appelés "équateurs (3)" ; et les cinq "droites hésitantes (4)".


 

État 1 ; réseau α1 ; (en dessous , les droites hésitantes sont en noir .)

 

 

État 2 , réseau α2

 

 

État 3 , réseau α3

 

 

État 4 , réseau α4

Pour visualiser la périodicité dans la symétrie d'ordre cinq il faudra prendre un peu de recul...

(voir le chapitre "Une histoire d'échelles")