Les différents ingrédients de la symétrie d'ordre cinq :

La symétrie d'ordre cinq dépend avant tout d'angles précis. En effet, pour obtenir un pentagramme, (étoile à cinq branches), il suffit de faire pivoter une droite autour d'un centre de symétrie, n'appartenant pas à cette même droite, des angles suivants :

0° ; 36° ; 72° ; 108° ; 144°

La symétrie d'ordre cinq s'organise dans le plan grâce au pentagone, au décagone, au pentagramme, (étoile à cinq branches qui réunit le pentagone et le triangle d'or ).

Ce nombre irrationnel possède tant de particularités mathématiques , que des livres entiers lui ont été consacrés. Ce rapport , très harmonieux, est pourvu d'un véritable pouvoir de séduction, et la nature elle même le produit spontanément.

Tout aussi naturel et spontané, un processus de développement est en lien direct avec le nombre d'or ; il s'agit de toute suite d'entiers formée suivant la loi qui veut que tout terme de cette suite soit égal à la somme des deux termes précédents , quels que soient ses deux premiers termes ; d'où :

La suite de Fibonacci obéit à cette règle. Pour les mathématiciens, l’introduction de cette suite est sans équivoques ; les premiers termes sont :

F(0) = 0 ; F(1) = 1 ; F(2) = 1 ; F(3) = 2 ; F(4) = 3 ; F(5) = 5 ; F(6) = 8 ; F(7) = 13 ; etc...

Cependant, quand on veut l'adapter à une réalité physique selon les règles de substitution, par exemple pour décrire la prolifération d'une population de lapins ; d'une séquence d'espacements de droites ; etc... ; la situation est plus confuse, car se pose le problème des deux premiers termes.

Certains l'entame avec : 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; ...

d' autres avec : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; ...

d'autres encore avec : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; ...

Concrètement, il existe donc un certain "flottement", comme si on ne savait pas exactement où situer le point de départ ; l'origine de celle-ci.

La suite de Fibonacci ( Léonard de Pise , XIIe , XIIIe siècle ) a, tout comme le nombre d'or, fait couler beaucoup d'encre depuis cette époque, mais renfermerait-elle encore quelques trésors cachés ?...

Une façon de procéder pour construire la suite de Fibonacci consiste à poser la substitution suivante :

[L] donne [L,S] et [S] donne [L], ( [L] est un espace long et [S] un espace court ) .

Si on démarre la suite avec [L], on obtient :

1 [L]

2 [L,S]

3 [L,S,L]

5 [L,S,L,L,S]

8 [L,S,L,L,S,L,S,L]

13 [L,S,L,L,S,L,S,L,L,S,L,L,S]

etc ...

Si l'on prend [L] et [S] comme deux valeurs d'espacements d'un réseau de droites parallèles, et que l'on fait ensuite pivoter ce réseau autour d'un centre selon les angles indiqués précédemment, ( 0°; 36°; 72°; 108°; 144°) on obtient une 5-grille appelée aussi : "Grille d'Ammann" .