A propos des pavages de Penrose.

Les pavages de Penrose sont de trois types et autorisent une infinité de variantes dans chacun de ces types.

- Le premier type P1, utilise comme pièces de base des pentagones, des losanges, des pentagrammes et des portions de pentagramme.

- Le second type P2, a pour pièces de base deux quadrilatères, l'un convexe, l'autre concave, connus comme « cerfs-volants » et « fléchettes ».

- Le troisième type P3, a pour pièces de base deux sortes de losanges, « fins » et « gros »... (C'est celui que l'on voit se superposer au pavage secondaire simplifié dans le chapitre précédant).

Mais quel est le problème avec les pavages de Penrose ?... Pourquoi ne suffisent-ils pas à expliquer la formation des quasi-cristaux ?...On sait pourtant de ces pavages, qu'ils ont la capacité de couvrir l'infinité du plan et d'y maintenir une symétrie d'ordre cinq à condition de partir d'un motif de base et de le décomposer en briques de plus en plus petites, à l'infini. C'est un procédé dit : “en inflation”. Les atomes qui composent les quasi-cristaux ne peuvent s'y prendre de cette façon puisqu'ils s'accumulent de l'intérieur du solide vers l'extérieur pour finalement, après s'être combinés des milliards de fois, faire croître un cristal régulier. Comme nous l'avons vu précédemment, les seules règles d'accolements des briques de Penrose ne suffisent pas à expliquer un développement rigoureusement stable pour produire ces formations car en effet, au bout d'une certaine extension d'un pavage, elles autorisent plusieurs possibilités de placement aux briques de base provoquant ainsi une décohérence du système. Les quasi-cristaux obéissent sans doute à une logique évolutive et structurelle plus globale pour maintenir la cohérence d'une symétrie cinq sur de longues distances atomiques. On sait que les pavages de Penrose ont un lien étroit avec la séquence et les mots de Fibonacci, sans toutefois pouvoir affirmer qu'ils en ont un avec le mot infini de Fibonacci et surtout sans savoir comment mettre en phase ces séquences selon cinq orientations différentes. Cette mise en phase est la condition indispensable au maintient d'une symétrie d'ordre cinq sur l'infinité du plan avec un processus en développement.

Robert Ammann avait en son temps décoré les briques de Penrose avec des lignes qui pouvaient servir de guide et ainsi reconstituer les droites d'un réseau régulier d'ordre cinq.

                              Les briques Losange "gros" et Losange "fin" décorées par Robert Ammann.


         

               Pavage de Penrose avec le réseau de droites obtenues grâce au décor des briques par Ammann.


Ces lignes furent appelées « Barres d'Ammann ». On peut remarquer que les espacements des droites ainsi formés s'enchaînent selon des séquences du mot infini de Fibonacci ; mais ne sachant pas où situer l'origine de ces enchaînements pour chacune des différentes orientations, il sera difficile de les prolonger sans erreurs sur l'infinité de l'espace plan.

Les "barres d'Ammann" reproduisant une portion du réseau alpha et étant donné que nous savons depuis le début de cette recherche, où en situer l'origine, il sera facile pour nous d'envisager un pavage de Penrose unique, couvrant l'infinité du plan par cette méthode, avec un procédé en développement, et donc, en accord avec la physique évolutive des quasi-cristaux.



Dans la figure ci-dessus, on voit l’emplacement de l'origine O., le trou noir central plus foncé (réseau alpha dans son état 4 avec l'équateur en tirets bleus), et la façon dont il se comble avec les briques de Penrose. Les espacements des barres d'Ammann devront respecter le développement du mot infini de Fibonacci, dans toutes les orientations à partir de chacun des côtés du décagone central. On pourra évidemment envisager un pavage pour chacun des états du réseau alpha qui respectera leurs spécificités symétriques.

                                                            Nouveau décor pour les briques de Penrose

Nous allons voir maintenant qu'il est possible de proposer un autre décor des briques de Penrose qui réduira encore le risque d'erreurs au fil de la construction ; celles-ci étant plus grandes, et de par leur contenu, leurs accolements successifs nous renseignent spontanément sur la suite logique des espacements de droites qu'il faudra respecter. Les sommets de chacun des quadrilatères se trouverons systématiquement au centre des pentagones réguliers P0, P1, P2 et des petits pentagones réguliers formant des pentagrammes dans le réseau Alpha.

                                Losange "gros" ; première brique centrale avec l'emplacement de l'origine O.


                                                                                        Losange "fin".




                                 Trou noir comblé (état 4) avec ces mêmes briques et leur nouveau décor .




                                                                     Début du pavage depuis l'origine.




                 Briques de Penrose décorées avec une homothétie de centre O. et de facteur k = - phi^3.


Étant donné le phénomène d'invariance d'échelles qui caractérise le réseau alpha avec une homothétie centrée sur l'origine (O.) de facteur k = (- phi^3) et k = (phi^6), l'on pourrait même décorer les briques de Penrose avec des portions du réseau alpha plus serrées pour chacune de ces échelles à l'infini et vérifier que le contenu (ou la décoration) de chacun des losanges « gros » et « fin  » reste bien le même.

                                                                               Suite de la recherche :  

                                                                              Nombres magnifiques

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