Pavages secondaires :

Toujours en partant du réseau alpha, et si l'on raccorde entre eux les trois centres des briques P1 et P2 occupant le trou noir dans l'état quatre, on obtient un triangle isocèle formé de deux angles de 54°, puis un de 72°. Ce même triangle pourra relier 3 à 3 l'ensemble des briques P0 ; P1 ; P2 ; sur la totalité du réseau.

Un triangle identique dans ses proportions, mais dont les droites du réseau alpha qui le traversent ne forment pas le même motif, comblera par cinq les formes en pentagones réguliers laissées vacantes par le premier.Les formes en pentagone « écrasé », se comblent avec trois de ces mêmes triangles, plus un losange dont les angles sont de 36° et 144°, ayant les mêmes côtés que ceux, petits, du triangle isocèle.

Ne resteront alors, plus que des formes vacantes rectangulaires, identiques, faites des grands et des petits côtés du triangle isocèle, qui se combleront avec une seule brique rectangle.

Ce pavage secondaire aura les mêmes propriétés symétriques que celui, primaire, formé avec P0 ;P1 ; P2 ; Coupe et Calice.

Dans l'image ci- dessous, on distingue par la couleur, les différentes liaisons entre P0 ;P1 ; P2 ; formées par le triangle.

Ce pavage secondaire est tout aussi intéressant que le primaire auquel il peut se superposer parfaitement.

Superposition des deux pavages primaires et secondaires :

On retrouve également un même pavage à une échelle phi supérieure, en reliant entre eux les petits pentagrammes logés dans les briques Calices, avec les mêmes triangles isocèles ; puis encore le même pavage, à une échelle phi^2 supérieure en reliant entre eux les centres des briques P0 avec ces mêmes triangles isocèles ; puis bien sûr à l'échelle phi^3 en le construisant depuis l'échelle 2 du réseau alpha d'origine. Cela implique que ce pavage secondaire couvre toutes les échelles phi de la supersymétrie.

Nous procéderons plus tard à une analyse détaillée de ce pavage secondaire.

Pavage secondaire simplifié

En observant le dessin ci-dessous, on voit que les trois briques du pavage secondaire (triangle isocèle, losange, rectangle), peuvent être décomposées en seulement deux briques de bases : un triangle rectangle et un rectangle.

En toute logique, on pourra donc transformer les trois briques du pavage secondaire en ces deux briques :

- Un triangle rectangle dont les angles sont : 36° ; 54° ; 90°

- Un rectangle dont la longueur correspond au plus petit côté du triangle rectangle, et dont la largeur correspond à l'abaissement du sommet de l'angle de 54° sur la droite perpendiculaire au petit côté du triangle, par un arc de cercle dont le centre est le sommet de l'angle à 36°. Le rayon de cet arc correspond donc à l'hypoténuse du triangle rectangle.

Le pavages avec ces deux briques en symétrie cinq  :

Le trou noir central se comblera avec ces deux mêmes briques dans l'état quatre du réseau alpha

On observe que ces deux briques sont les composantes des losanges de Penrose (losange large ; losange fin) et que l'on pourra donc parfaitement superposer au pavages primaires et secondaires un pavage de Penrose.


Mais contrairement aux briques du pavage primaire (Calice ; Coupe ; P0 ; P1 ; P2), et aux briques du pavage secondaire (rectangle ; les deux triangles isocèles et le losange), les deux briques du pavage secondaire simplifié et les deux losanges de Penrose, ne contiennent plus individuellement et intrinsèquement les informations du réseau alpha sous-jacent ; elles ne permettront donc pas de le reconstruire par simple juxtaposition.

On comprend à partir de cet instant :

- que l'on ait pu vérifier les qualités symétriques du pavage de Penrose (types : P1 ;P2 ;P3), que par décomposition des différentes briques qui les constituent, de la manière que l'on peut décomposer les briques calice, coupe, P0, P1, P2 du pavage primaire.

- que les pavages de Penrose ainsi obtenus (par décomposition), et superposés au réseau alpha n'en couvriront qu'une portion sans jamais englober le centre origine (0.).

- qu'il est pratiquement impossible de construire et d'étendre un pavage de Penrose suffisamment loin, par simple juxtaposition des briques qui le constituent, et obtenir par cette méthode une parfaite symétrie d'ordre cinq. Les règles d'accolement qui les caractérisent n'y suffisent pas.

- qu'à l'inverse, grâce au placement de l'origine (0.) à phi^3/2, le réseau alpha se propage sur l'infinité du plan en préservant la stabilité de seulement quatre longueurs de segments sans intersection avec les autres droites du réseau. Ces quatre longueurs ayant pourtant des valeurs irrationnelles.

- que le réseau alpha permet de placer de façon certaine les briques d'un pavage d'ordre cinq, à l'infini, en conservant les qualités symétriques qui le caractérise, grâce à une méthode de développement par juxtaposition et non plus par décomposition de ces mêmes briques.